竞业调查举证可以通过以下几种方法进行：

1. 工商登记：可以从网络上查询对方的经营单位，以证明竞业活动是否存在。

2. 快递签收证明：可以证明劳动者是否在新单位工作，快递签收的可能性很高，尤其是单位前台很可能代收了。

3. 打座机电话：可以把拨打电话的过程录像，作为劳动者在新单位工作的证据。

4. 劳动者进出新单位工作场所的影像资料：这是最可靠的证据，可以证明劳动者确实在新单位工作。

5. 其他证人证言等能佐证劳动者从事与本单位有竞争关系的业务事实的证据：可以证明劳动者是否从事与原单位有竞争关系的业务。

6. 劳动者在新单位的名片、电子邮件：可以通过与对方商谈业务的方式取得对方的名片和电子邮件，作为劳动者在新单位工作的证据。

7. 合同洽谈的过程：在商业洽谈过程中，可以用录音或录像的方式将洽商过程录音录像，作为劳动者以新单位员工名义签订合同的证据。

通过以上方法，可以收集到充足的证据，以证明劳动者是否从事与原单位有竞争关系的业务。